1. Дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO = 6, AO = 5 (рис. 7.54). Найти: а) OB, AC, BD; б) S(AOC), S(BOD)

а) Рассмотрим треугольники AOC и BOD. 1) ∠A = ∠B (дано). 2) ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные). Значит, треугольники AOC и BOD подобны по двум углам (по первому признаку подобия треугольников). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \$$\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}\$$ \$$\frac{5}{BO} = \frac{4}{6}\$$ \$$BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5\$$ Итак, OB = 7.5. Поскольку треугольники подобны, то \$$\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO}\$$ \$$\frac{AC}{BD} = \frac{5}{7.5} = \frac{2}{3}\$$ \$$AC = x\$$, \$$BD = \frac{3}{2}x\$$ б) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия равен \$$\frac{AO}{BO} = \frac{5}{7.5} = \frac{2}{3}\$$ \$$\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}\$$ Отсюда, \$$\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = \frac{4}{9}\$$