4. * В трапеции ABCD (AD и BC основание) диагонали пересекаются в точке O, AD = 12 см, BC = 4 см. Найдите площадь треугольника BOC, если площадь треугольника AOD равна 45 см².

Рассмотрим треугольники BOC и AOD. ∠BOC = ∠AOD (вертикальные), ∠OBC = ∠ODA (накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD). Следовательно, треугольники BOC и AOD подобны по двум углам. Коэффициент подобия k = BC/AD = 4/12 = 1/3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \$$\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}\$$. Тогда \$$S_{BOC} = \frac{1}{9} \cdot S_{AOD} = \frac{1}{9} \cdot 45 = 5\$$ см². Ответ: 5 см².