1. Дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO = 6. AO = 5 (рис. 7.54). Найти: а) ОВ; 5) AC : BD; B) SAOC: SBOD

а) Рассмотрим треугольники АОС и BOD. У них ∠A = ∠B (по условию), ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные). Следовательно, треугольники АОС и BOD подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} $$

Подставим известные значения:

$$ \frac{5}{BO} = \frac{4}{6} $$

Найдем BO:

$$ BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5 $$

б) Найдем AC : BD

Так как треугольники АОС и BOD подобны, то

$$\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{AC}{BD} = \frac{5}{7.5} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3}$$

в) Найдем SAOC: SBOD

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = \left( \frac{AO}{BO} \right)^2 = \left( \frac{5}{7.5} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}$$

Ответ: а) ОВ = 7.5; б) AC : BD = 2/3; в) SAOC: SBOD = 4/9