1. Дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO = 6. AO = 5 (рис. 7.54). Найти: а) ОВ; 6) AC: BD: B) SAOC: SBOD

a) Рассмотрим треугольники АОС и BOD. У них ∠A = ∠B (по условию), ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные). Следовательно, треугольники АОС и BOD подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:$$\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$$. Подставим известные значения:$$\frac{5}{BO} = \frac{4}{6}$$. Найдем ОВ:$$BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5$$.

Ответ: OB = 7.5

б) Найдем АС и BD. АС = АО + ОС = 5 + 4 = 9. BD = BO + OD = 7.5 + 6 = 13.5. Тогда отношение AC : BD = 9 : 13.5 = 90 : 135 = 2 : 3.

Ответ: AC : BD = 2 : 3

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия равен$$\frac{AO}{BO} = \frac{5}{7.5} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3}$$. Тогда отношение площадей треугольников AOC и BOD равно$$\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$.

Ответ: SAOC : SBOD = 4 : 9