3. Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках М и К соответственно так, что МК || АС, BM : AM = 1:4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника АВС равен 25 см.

Дано: ΔАВС, МК || АС, BM : AM = 1:4, Р(АВС) = 25 см.

Найти: Р(ВМК).

Решение:

1) Рассмотрим треугольники ВМК и ВАС.

∠В - общий.

∠BMK = ∠BAC (соответственные углы при МК || АС и секущей АВ).

∠BKM = ∠BCA (соответственные углы при МК || АС и секущей ВС).

Следовательно, ΔВМК ~ ΔВАС (по трем углам).

2) BM : AM = 1:4, следовательно, AM = 4x, BM = x.

AB = AM + BM = 4x + x = 5x.

$$\frac{BM}{AB} = \frac{x}{5x} = \frac{1}{5}$$.

3) Из подобия следует, что $$\frac{P_{BMK}}{P_{ABC}} = \frac{BM}{AB}$$.

$$\frac{P_{BMK}}{25} = \frac{1}{5}$$.

$$P_{BMK} = \frac{25 \cdot 1}{5} = 5$$ см.

Ответ: 5 см.