1. Дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO = 6, АО = 5 (рис. 7.54). Найти: а) ОВ; 6) AC: BD; в) $$S_{AOC}$$: $$S_{BOD}$$

Решение:

Давай решим эту задачу вместе! У нас есть треугольник, и нам нужно найти несколько его параметров. Сейчас мы все разложим по полочкам.

a) Рассмотрим треугольники AOC и BOD. У них ∠A = ∠B (дано), и ∠AOC = ∠BOD как вертикальные углы. Следовательно, треугольники AOC и BOD подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорция сторон: \[\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}\] Подставим известные значения: \[\frac{5}{BO} = \frac{4}{6}\] Решим уравнение относительно BO: \[BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5\]

Таким образом, OB = 7.5.

б) Найдем отношение AC к BD, используя подобие треугольников AOC и BOD: \[\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}\] Мы уже знаем, что \(\frac{AO}{BO} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\), поэтому: \[\frac{AC}{BD} = \frac{2}{3}\]

в) Найдем отношение площадей треугольников AOC и BOD. Поскольку треугольники подобны, отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия: \[\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = \left(\frac{AO}{BO}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\]

Таким образом, отношение площадей треугольников AOC и BOD равно 4:9.

Ответ: а) OB = 7.5; б) AC:BD = 2:3; в) $$S_{AOC}$$:$$S_{BOD}$$ = 4:9

Молодец, ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!