1. Дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO = 6, AO = 5 (рис. 7.54). Найти: а) ОВ; 6) AC: BD; в) SAOC: SBOD

Решение:

а) Рассмотрим треугольники АОС и BOD. У них ∠A = ∠B (по условию). ∠AOC = ∠BOD как вертикальные углы. Следовательно, треугольники АОС и BOD подобны по двум углам (первый признак подобия).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} $$,

откуда

$$ BO = \frac{AO \cdot DO}{CO} = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7,5 $$.

б) $$ \frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} $$, следовательно $$ \frac{AC}{BD} = \frac{5}{7.5} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$.

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$ \frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = \left(\frac{AO}{BO}\right)^2 = \left(\frac{5}{7.5}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} $$.

Ответ: а) OB = 7,5; б) AC : BD = 2 : 3; в) SAOC : SBOD = 4 : 9.