4. * Дано: ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР? б) Найдите длину медианы PD.

a) Рассмотрим прямоугольный треугольник MEP. Известно, что ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см. Найдём EP. В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. То есть MP = 1/2 * ME = 1/2 * 10 = 5 см. Теперь найдём EP по теореме Пифагора: (EP^2 + MP^2 = ME^2) (EP^2 + 5^2 = 10^2) (EP^2 + 25 = 100) (EP^2 = 75) (EP = \sqrt{75} = \sqrt{25 * 3} = 5\sqrt{3}) Приближённое значение (5\sqrt{3} \approx 5 * 1.732 = 8.66) Значит, длина отрезка EP заключена между целыми числами 8 и 9. б) Найдём длину медианы PD. Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Поэтому PD = 1/2 * ME = 1/2 * 10 = 5 см. Ответ: а) Длина отрезка EP заключена между числами 8 и 9. б) Длина медианы PD равна 5 см.