3) Дано: AB, BC – касательные, OB = 2, AO = 4. Найти: ∠BOC.

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных равны, то есть AB = BC. Также радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. Значит, углы ABO и BCO прямые, то есть равны 90 градусов.

Треугольники ABO и CBO равны по трем сторонам (AO = OC как радиусы, OB - общая, AB = BC). Следовательно, углы AOB и COB равны.

Рассмотрим четырехугольник ABCO. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. Тогда:

$$\angle BAO + \angle ABO + \angle BCO + \angle BCO = 360^\circ$$

$$\angle BAO + 90^\circ + 90^\circ + \angle BCO = 360^\circ$$

$$\angle BAO + \angle BCO = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$$

Из прямоугольного треугольника ABO: $$sin \angle AOB = \frac{AB}{OB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$, значит, \angle AOB = 30^\circ.

Так как углы AOB и COB равны, то \angle COB = 30^\circ.

Тогда \angle BOC = \angle AOB + \angle COB = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ.