3 Дано: ABCD – квадрат. Доказать перпендикулярность плоскостей: 1) АМС и АВС; 2) АМС и BMD.

Для решения этой задачи нам дано, что ABCD - квадрат, и требуется доказать перпендикулярность плоскостей в двух случаях:

1) АМС и АВС;

2) АМС и BMD.

1) Докажем перпендикулярность плоскостей АМС и АВС:

Пусть О - точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Тогда АО = ОС. Так как AM = MC (это следует из равенства треугольников АМО и СМО по трем сторонам), МО - медиана треугольника АМС, а значит, и высота, то есть МО перпендикулярна АС. Так как ABCD - квадрат, его диагонали взаимно перпендикулярны, то есть АС перпендикулярна BD. Поскольку МО перпендикулярна АС и МО лежит в плоскости АМС, а АС лежит в плоскости АВС, то для доказательства перпендикулярности плоскостей АМС и АВС достаточно доказать, что МО перпендикулярна плоскости АВС. Но так как МО перпендикулярна АС и BD, а АС и BD лежат в плоскости АВС, то МО перпендикулярна плоскости АВС. Следовательно, плоскости АМС и АВС перпендикулярны.

2) Докажем перпендикулярность плоскостей АМС и BMD:

Плоскость АМС содержит прямую МО, перпендикулярную АС. Плоскость BMD содержит прямую BD, перпендикулярную АС. Так как АС перпендикулярна обеим плоскостям АМС и BMD, угол между этими плоскостями определяется углом между прямыми МО и BD. Но так как МО перпендикулярна АС, a BD перпендикулярна АС, угол между плоскостями АМС и BMD равен 90 градусам, следовательно, плоскости АМС и BMD перпендикулярны.

Ответ: Доказательство перпендикулярности плоскостей АМС и АВС, а также плоскостей АМС и BMD выполнено.