(107) Дано: ABCD- прямоугольник, МС⊥(ABCD), MD=32, BC=24, AK=MK. Найти: DK.

Пусть ABCD - прямоугольник, МС перпендикулярна плоскости ABCD, MD = 32, BC = 24, AK = MK.

Найти: DK.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольник ABCD. Так как ABCD - прямоугольник, то AD = BC = 24.

2. Рассмотрим треугольник MCD. Он прямоугольный, так как МС перпендикулярна плоскости ABCD, следовательно, перпендикулярна и стороне CD, лежащей в этой плоскости. По теореме Пифагора, MC = √(MD² - CD²) = √(32² - CD²).

3. Рассмотрим треугольник MCA. Он прямоугольный, так как МС перпендикулярна плоскости ABCD, следовательно, перпендикулярна и стороне CA, лежащей в этой плоскости. По теореме Пифагора, MA = √(MC² + CA²) = √(MC² + AB² + BC²) = √(32² - CD² + CD² + 24²) = √((32² + 24²)) = 40.

4. Так как АК = МК, то К - середина АМ, следовательно, СК - медиана треугольника АМС.

5. Выразим СК через стороны треугольника АМС, СК =√((2 × (MC² + AC²) - AM²)/4) = √((2 × (32² - CD² + CD² + 24²) - 40²)/4) = √((2 × (32² + 24²) - 40²)/4) = √((2 × (1024 + 576) - 1600)/4) = √((2 × 1600 - 1600)/4) = √(1600/4) = √400 = 20.

6. Пусть KD = x, тогда DK = CD - x.

7. Рассмотрим треугольник MKD. Он прямоугольный, так как МС перпендикулярна плоскости ABCD, следовательно, перпендикулярна и стороне KD, лежащей в этой плоскости. По теореме Пифагора, MD² = MK² + KD². MK = AM/2 = 40/2 = 20. KD = √(32² - 20²) = √(1024 - 400) = √624 = 4√39 ≈ 24.98.

Ответ: 24.98.