(105) Дано: АВСD-параллелограмм, МВД (ABCD), AD=36, MB24, ∠BAD-30°. Найти: МК.

Рассмотрим треугольник АВМ. Он прямоугольный, так как МВ перпендикулярна плоскости АВСD, следовательно, перпендикулярна и стороне АВ, лежащей в этой плоскости.

В прямоугольном треугольнике АВМ катет МВ лежит против угла в 30°, следовательно, гипотенуза АМ в два раза больше этого катета.

АМ = 2 × МВ = 2 × 24 = 48.

Рассмотрим треугольник АМD. В нём известны две стороны (АD = 36, АМ = 48) и угол между ними (∠BAD = 30°).

По теореме косинусов, MD² = AM² + AD² - 2 × AM × AD × cos ∠BAD

MD² = 48² + 36² - 2 × 48 × 36 × cos 30° = 2304 + 1296 - 3456 × √3/2 = 3600 - 1728√3 ≈ 619.7

MD ≈ √619.7 ≈ 24.9

Рассмотрим треугольники АВМ и DCK. У них ∠ВАМ = ∠CDK как соответственные углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АD. Также ∠АВМ = ∠DCK = 90° (так как МВ и КС перпендикулярны плоскости АВСD). Следовательно, треугольники АВМ и DCK подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: АВ/DC = ВМ/СК = АМ/DK.

Так как АВСD - параллелограмм, АВ = DC.

Тогда ВМ = СК = 24.

Рассмотрим треугольник МВК. Он прямоугольный, так как МВ перпендикулярна плоскости АВСD, следовательно, перпендикулярна и стороне ВК, лежащей в этой плоскости.

В прямоугольном треугольнике МВК МК² = МВ² + ВК²

Так как ВК = ВD - DK = ВD - АМ = 36 - 48 = -12 (чего не может быть)

Условие задачи некорректно, так как DK не может быть больше AD.

Ответ: Решения нет.