Дано: AO=OB, CO=OD, CD=5см, BO=3см, BD=4см. Найти: периметр \( \triangle CAO \).

Решение:

По условию \( AO = OB \) и \( CO = OD \).

Это значит, что диагонали \( AC \) и \( BD \) четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O и делятся в этой точке пополам.

Следовательно, ABCD — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны: \( AC = AO + OC \) и \( BD = BO + OD \).

Также \( AB = CD \) и \( BC = AD \).

По условию \( CD = 5 \) см, значит, \( AB = 5 \) см.

По условию \( BO = 3 \) см, значит, \( AO = 3 \) см (так как \( AO = OB \)).

По условию \( OD = CO \) и \( BD = 4 \) см. Так как \( BD = BO + OD \), то \( 4 \) см = \( 3 \) см + \( OD \), следовательно, \( OD = 1 \) см. Значит, \( CO = 1 \) см.

Теперь мы можем найти периметр \( \triangle CAO \).

Периметр \( \triangle CAO \) = \( CA + AO + OC \).

\( CA = CO + OA = 1 \) см + \( 3 \) см = \( 4 \) см.

Периметр \( \triangle CAO = 4 \) см + \( 3 \) см + \( 1 \) см = \( 8 \) см.

Ответ: 8 см.