10 Дано: АС1 B, BD 1 B. Найти: АВ.

Дано: AC ⊥ β, BD ⊥ β, AC = 10, BD = 15, CD = 12. AB - ?

$$\hspace{1cm}$$B

$$\uparrow$$15

$$\hspace{1cm}$$A

$$\uparrow$$10

C-------------------D

β 12

Проведем CE || плоскости β и параллельно CD. Тогда CE = CD = 12, BE = BD - AC = 15 - 10 = 5

В прямоугольном треугольнике AEC, по теореме Пифагора: $$AE = CD = 12$$ $$AE^2 = AC^2 + CE^2$$ $$AE^2 = 10^2 + 12^2$$ $$AE = \sqrt{100 + 144} = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}$$

Треугольник AEB - прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AE^2 + BE^2$$ $$AB = \sqrt{244 + 5^2}$$ $$AB = \sqrt{244 + 25}$$ $$AB = \sqrt{269}$$

Ответ: $$\sqrt{269}$$