1. Дано: АВ = CD, ∠ABC = 65°, ∠ADC = 45°, ∠AOC = 110° (рис. 5.91). Найти: ∠C. Доказать: ΔАBO = ΔDCO.

Рассмотрим четырехугольник ABCD. По условию AB = CD.

Так как ∠AOC = 110°, то ∠BOC = 180° - 110° = 70° (как смежные).

Сумма углов четырехугольника ABCD равна 360°.

∠BAD + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA = 360°

∠BAD + 65° + ∠BCD + 45° = 360°

∠BAD + ∠BCD = 360° - 65° - 45° = 250°

Пусть ∠BAO = x, ∠DCO = y, тогда ∠BAD = x + ∠OAD, ∠BCD = y + ∠OCB.

Треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними (AB = CD, AO = OC, BO = OD, ∠AOB = ∠COD как вертикальные). Следовательно, ∠OAB = ∠OCD, то есть x = y.

Так как ∠AOC = 110°, то ∠AOB = ∠COD = 110° (как вертикальные).

В треугольнике AOB: ∠ABO + ∠BAO + ∠AOB = 180°, значит ∠BAO = 180° - ∠ABO - ∠AOB = 180° - 65° - 110° = 5°.

Следовательно, ∠DCO = 5°.

∠C = ∠BCO = ∠OCD + ∠BCO = ∠BCO + 5°

Рассмотрим треугольники ABO и CDO:

• AB = CD (по условию)
• ∠OAB = ∠OCD (доказано выше)
• ∠ABO = 65°, ∠CDO = 45°

Треугольники ABO и CDO не равны, так как углы при сторонах AB и CD не равны.

Невозможно найти ∠C, так как недостаточно данных. ΔАBO ≠ ΔDCO.