3. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC — равнобедренные прямоугольные (∠B = ∠D = 90°). Доказать: АВ || CD.

Так как треугольники ABC и ADC равнобедренные прямоугольные, то AB = BC и AD = DC.

∠B = ∠D = 90°

∠BAC = ∠BCA = (180° - 90°) / 2 = 45°

∠DAC = ∠DCA = (180° - 90°) / 2 = 45°

∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 45° + 45° = 90°

∠BCD = ∠BCA + ∠DCA = 45° + 45° = 90°

Рассмотрим четырехугольник ABCD. У него ∠BAD = ∠BCD = 90°.

Сумма углов четырехугольника равна 360°.

∠ABC + ∠CDA = 360° - 90° - 90° = 180°

В четырехугольнике ABCD сумма противоположных углов равна 180°, следовательно, около него можно описать окружность.

Проведём диагональ AC. ∠B = ∠D = 90°, следовательно, опираются на диаметр AC. Значит, AC - диаметр окружности.

Рассмотрим углы BAC и ACD. Они накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей AC.

∠BAC = ∠ACD = 45°. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Следовательно, AB || CD.