Дано: АВ - касательная, R = 6, AO=OB. Найти: АО.

Решение:

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO (угол A = 90°, так как AB - касательная к окружности).

2) Так как AO = R = 6 и AO = OB, то OB = 6.

3) Но это невозможно, так как OB - гипотенуза, а AO - катет. Гипотенуза всегда больше катета.

4) Следовательно, AO = OB = x.

5) По теореме Пифагора: $$OB^2 = AO^2 + AB^2$$, $$x^2 = R^2 + x^2$$, где R = 6.

6) $$OB^2 = OA^2 + AB^2$$; $$x^2 = 6^2 + (16)^2$$; $$x^2 = 36 + 256$$; $$x = \sqrt{292}$$

Ответ: $$\sqrt{292}$$