Дано: АВ, ВС - касательные, OB = 2, AO = 4. Найти: ∠BOC.

Решение:

1) Пусть ∠BOC = x, тогда ∠BOA = 180 - x (так как ∠COA = 180°).

2) AO и BO - биссектрисы углов CAВ и СВА соответственно.

3) Из треугольника AOB: ∠ABO = 180 - ∠BAO - ∠AOB; ∠BAO = 180 - ∠ABO - ∠AOB.

4) $$tg(\frac{x}{2}) = \frac{r}{2}$$, $$tg(\frac{180 - x}{2}) = \frac{r}{4}$$

5) $$tg(90 - \frac{x}{2}) = ctg(\frac{x}{2}) = \frac{r}{4}$$, $$ctg(\frac{x}{2}) = \frac{4}{r}$$

6) $$tg(\frac{x}{2}) \cdot ctg(\frac{x}{2}) = 1$$

7) \frac{r}{2} \cdot \frac{4}{r} = 1

8) 2 = 1 (противоречие)

9) Так как AB и BC касательные, то углы ABO и CBO равны.

10) Так как AO = 4, OB = 2, то sin угла BAO = 2/4 = 1/2, то есть угол BAO = 30 градусов, а угол ABO = 60 градусов.

11) Тогда угол ABC = 2 * 60 = 120 градусов.

12) Углы BOC и AOC = (360 - 120)/2 = 120 градусов.

Ответ: 120°