Дано: АВМН - прямоугольник. Найти: ВН.

Шаг 1: Определяем, что нужно найти.

Нужно найти длину стороны BH прямоугольного треугольника ABH.

Шаг 2: Применяем теорему Пифагора.

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:\[AB^2 = AH^2 + BH^2\]

Шаг 3: Подставляем известные значения.

Известно, что AH = 4, а угол ABH = 45°. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то угол BAH = 180° - 90° - 45° = 45°. Значит, треугольник ABH равнобедренный, и AH = BH.

Шаг 4: Находим BH.

Используем теорему Пифагора:\[AB^2 = AH^2 + BH^2\]\[(4\sqrt{2})^2 = 4^2 + BH^2\]\[32 = 16 + BH^2\]\[BH^2 = 32 - 16 = 16\]\[BH = \sqrt{16} = 4\]