5 Дано: О – центр окружности, вписанной в трапецию ABCD, AD=BC, CD=9, AB=16, ME=10. Найти ОМ.

1) Проведем высоту CH. Т.к. трапеция равнобедренная, то AH = (AB - CD) / 2 = (16 - 9) / 2 = 3,5.

2) Из $$\\,triangle AHC$$ по теореме Пифагора: $$CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{BC^2 - AH^2}$$.

3) Т.к. в трапецию вписана окружность, то AB + CD = 2 * BC, отсюда $$BC = \frac{AB + CD}{2} = \frac{16 + 9}{2} = 12,5$$.

4) $$CH = \sqrt{12,5^2 - 3,5^2} = \sqrt{156,25 - 12,25} = \sqrt{144} = 12$$.

5) Т.к. О - центр окружности, то окружность касается стороны AD в точке К. Следовательно, OK - радиус и высота трапеции ABCD, OK = CH / 2 = 12 / 2 = 6.

6) Рассмотрим $$\\,triangle OME$$: $$OM = \sqrt{OE^2 + ME^2} = \sqrt{6^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}$$.

Ответ: $$2\sqrt{34}$$.