15

Дано:

• Окружность с центром О.
• Диаметры АС и BD.
• \[ \angle ACB = 55^{\circ} \]

Найти:

• \[ \angle AOD \]

Решение:

1. Угол АСВ и угол ADB: Углы \[ \angle ACB \] и \[ \angle ADB \] являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу AB. Следовательно, они равны: \[ \angle ADB = \angle ACB = 55^{\circ} \]
2. Рассмотрим треугольник AOD: Этот треугольник равнобедренный, так как OA и OD - радиусы окружности. Значит, \[ OA = OD \] и \[ \angle OAD = \angle ODA \].
3. Рассмотрим треугольник AOD: Треугольник AOD является равнобедренным, так как OA и OD - радиусы окружности.
4. Угол ADB: Угол \[ \angle ADB \] вписан и опирается на дугу AB. Его величина равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то есть \[ \angle AOB \].
5. Треугольник AOD: OA=OD (радиусы). Значит, \[ \angle OAD = \angle ODA \].
6. Рассмотрим треугольник BCD: Вписанный угол \[ \angle BCD \] опирается на дугу BD.
7. Рассмотрим треугольник ABC: Угол \[ \angle ABC \] опирается на диаметр AC, поэтому он прямой, \[ \angle ABC = 90^{\circ} \].
8. Рассмотрим треугольник BOC: OB = OC (радиусы), значит, треугольник BOC равнобедренный.
9. Угол BOC: \[ \angle BOC = 180^{\circ} - 2 \cdot \angle OBC \]
10. Угол BOC и угол AOD: Углы \[ \angle BOC \] и \[ \angle AOD \] являются вертикальными, поэтому они равны.
11. Найдем угол BOC: В треугольнике ABC, \[ \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle ACB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ} \].
12. Угол AOB: Угол \[ \angle AOB \] - центральный, опирается на дугу AB.
13. Треугольник ABC: \[ \angle ABC = 90^{\circ} \] (опирается на диаметр AC).
14. Треугольник AOD: OA = OD (радиусы). \[ \angle OAD = \angle ODA \].
15. Рассмотрим треугольник ABC: \[ \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ} \].
16. Угол COD: Угол \[ \angle COD \] - центральный, опирается на дугу CD.
17. Угол CAD: Угол \[ \angle CAD \] вписанный, опирается на дугу CD.
18. Треугольник BOC: OB = OC, \[ \angle OBC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ} \].
19. Центральный угол AOD: Центральный угол \[ \angle AOD \] равен удвоенному вписанному углу \[ \angle ABD \] (если бы мы знали ABD).
20. Рассмотрим треугольник ABC: \[ \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ} \].
21. Рассмотрим треугольник AOD: OA = OD. \[ \angle OAD = \angle ODA \].
22. Рассмотрим треугольник COD: OC = OD. \[ \angle OCD = \angle ODC \].
23. Угол ACB = 55°. Этот вписанный угол опирается на дугу AB. Центральный угол, опирающийся на дугу AB, равен \[ \angle AOB = 2 k \angle ACB = 2 k 55^{\circ} = 110^{\circ} \].
24. Углы AOD и BOC: Углы \[ \angle AOD \] и \[ \angle BOC \] являются вертикальными, поэтому они равны.
25. Углы AOB и COD: Углы \[ \angle AOB \] и \[ \angle COD \] также являются вертикальными и равны.
26. Сумма углов: \[ \angle AOB + \angle BOC + \angle COD + \angle AOD = 360^{\circ} \]
27. Так как \[ \angle AOD = \angle BOC \] и \[ \angle AOB = \angle COD \], то: \[ 2 \cdot \angle AOD + 2 \cdot \angle AOB = 360^{\circ} \] \[ \angle AOD + \angle AOB = 180^{\circ} \]
28. Из предыдущего шага: \[ \angle AOB = 110^{\circ} \]
29. Вычислим \[ \angle AOD \]: \[ \angle AOD = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \]

Ответ: 70°