16

Обозначение:

• Пусть трёхзначное число, которое задумали, будет \[ 100a + 10b + c \], где \[ a, b, c \] - цифры, \[ a
  eq 0 \], \[ c
  eq 0 \].
• Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке: \[ 100c + 10b + a \].

Условия задачи:

1. Число \[ 100a + 10b + c \] делится на 12.
2. \[ (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 495 \]

Решение:

1. Упростим второе уравнение: \[ 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 495 \] \[ 99a - 99c = 495 \] \[ 99(a - c) = 495 \] \[ a - c = \frac{495}{99} \] \[ a - c = 5 \]
2. Возможные пары (a, c) учитывая, что a и c - цифры от 1 до 9 (так как c ≠ 0):
   • Если \[ a = 6 \], то \[ c = 1 \].
   • Если \[ a = 7 \], то \[ c = 2 \].
   • Если \[ a = 8 \], то \[ c = 3 \].
   • Если \[ a = 9 \], то \[ c = 4 \].
3. Теперь учтем первое условие: число делится на 12. Число делится на 12, если оно делится и на 3, и на 4.
4. Признак делимости на 3: Сумма цифр числа должна делиться на 3. \[ a + b + c \] делится на 3.
5. Признак делимости на 4: Число, образованное двумя последними цифрами ( \[ 10b + c \]), должно делиться на 4.
6. Проверим каждую пару (a, c):
   • Пара (6, 1): \[ a=6, c=1 \]. Число имеет вид \[ 6b1 \]. * Сумма цифр: \[ 6 + b + 1 = 7 + b \]. Чтобы делилось на 3, \[ b \] может быть 2, 5, 8. * Число из двух последних цифр: \[ 10b + 1 \]. Проверим делимость на 4: * Если \[ b = 2 \], число 21 (не делится на 4). * Если \[ b = 5 \], число 51 (не делится на 4). * Если \[ b = 8 \], число 81 (не делится на 4). * Эта пара не подходит.
   • Пара (7, 2): \[ a=7, c=2 \]. Число имеет вид \[ 7b2 \]. * Сумма цифр: \[ 7 + b + 2 = 9 + b \]. Чтобы делилось на 3, \[ b \] может быть 0, 3, 6, 9. * Число из двух последних цифр: \[ 10b + 2 \]. Проверим делимость на 4: * Если \[ b = 0 \], число 02 (не делится на 4). * Если \[ b = 3 \], число 32 (делится на 4). * Если \[ b = 6 \], число 62 (не делится на 4). * Если \[ b = 9 \], число 92 (делится на 4). * Подходят \[ b=3 \] и \[ b=9 \]. * Числа: 732 и 792. Проверим их делимость на 12. * 732: 7+3+2 = 12 (делится на 3). 32 (делится на 4). Значит, 732 делится на 12. * 792: 7+9+2 = 18 (делится на 3). 92 (делится на 4). Значит, 792 делится на 12. * Эти числа возможны.
   • Пара (8, 3): \[ a=8, c=3 \]. Число имеет вид \[ 8b3 \]. * Сумма цифр: \[ 8 + b + 3 = 11 + b \]. Чтобы делилось на 3, \[ b \] может быть 1, 4, 7. * Число из двух последних цифр: \[ 10b + 3 \]. Проверим делимость на 4: * Если \[ b = 1 \], число 13 (не делится на 4). * Если \[ b = 4 \], число 43 (не делится на 4). * Если \[ b = 7 \], число 73 (не делится на 4). * Эта пара не подходит.
   • Пара (9, 4): \[ a=9, c=4 \]. Число имеет вид \[ 9b4 \]. * Сумма цифр: \[ 9 + b + 4 = 13 + b \]. Чтобы делилось на 3, \[ b \] может быть 2, 5, 8. * Число из двух последних цифр: \[ 10b + 4 \]. Проверим делимость на 4: * Если \[ b = 2 \], число 24 (делится на 4). * Если \[ b = 5 \], число 54 (не делится на 4). * Если \[ b = 8 \], число 84 (делится на 4). * Подходят \[ b=2 \] и \[ b=8 \]. * Числа: 924 и 984. Проверим их делимость на 12. * 924: 9+2+4 = 15 (делится на 3). 24 (делится на 4). Значит, 924 делится на 12. * 984: 9+8+4 = 21 (делится на 3). 84 (делится на 4). Значит, 984 делится на 12. * Эти числа возможны.
7. Итоговые числа: 732, 792, 924, 984.
8. Проверка условия: * 732 - 237 = 495 * 792 - 297 = 495 * 924 - 429 = 495 * 984 - 489 = 495

Ответ: 732, 792, 924, 984