2. Дано: PE || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6 (рис. 7.55). Найти: а) MK; б) PE : NK; в) $$S_{MPE} : S_{MNK}$$

a) Найдем MK. Так как PE || NK, то треугольники MPE и MNK подобны (по двум углам). Следовательно, соответствующие стороны пропорциональны: $$\frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN}$$ $$\frac{6}{MK} = \frac{8}{12}$$ $$MK = \frac{6 \cdot 12}{8} = \frac{72}{8} = 9$$ см MK = 9 см б) Найдем отношение PE : NK. Из подобия треугольников: $$\frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN} = \frac{6}{9} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$ PE : NK = 2 : 3 в) Найдем отношение площадей $$S_{MPE} : S_{MNK}$$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $$\frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = (\frac{PE}{NK})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$$ $$S_{MPE} : S_{MNK} = 4 : 9$$