Дано: плоскости α и β параллельны; a ∥ b. Доказать: AB = A₁B₁.

Прямые a и b соединяют соответствующие точки двух параллельных плоскостей: A с A₁ и B с B₁.

1. Так как α ∥ β, отрезки AB и A₁B₁, лежащие в этих плоскостях, параллельны.
2. По условию AA₁ ∥ BB₁. Значит, четырёхугольник AA₁B₁B — параллелограмм.
3. У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому AB = A₁B₁.

Ответ: AB = A₁B₁.