1. Дано: РЕ || NK, MP = 8, MN = 12, МЕ = 6 (рис. 7.55). Найти: а) МК; 6) РЕ: NK; в) SMPE: SMNK

a) Рассмотрим треугольники MPE и MNK. Угол M - общий, угол MPE = углу MNK как соответственные углы при PE || NK и секущей MN, угол MEP = углу MKN как соответственные углы при PE || NK и секущей EK. Следовательно, треугольники MPE и MNK подобны по трем углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

MP/MN = ME/MK

Подставим известные значения:

8/12 = 6/MK

MK = (6 * 12) / 8 = 72 / 8 = 9

б) Найдем EN: EN = MN - ME = 12 - 6 = 6

Из подобия треугольников MPE и MNK следует пропорциональность сторон:

ME/MN = PE/NK

6/12 = PE/NK

PE/NK = 1/2

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

S_MPE / S_MNK = (PE/NK)² = (1/2)² = 1/4

Ответ: a) MK = 9; б) PE:NK = 1:2; в) SMPE:SMNK = 1:4

а) Рассмотрим треугольники MPE и MNK.

• ∠M – общий;
• ∠MPE = ∠MNK как соответственные углы при PE || NK и секущей MN;
• ∠MEP = ∠MKN как соответственные углы при PE || NK и секущей EK.

Следовательно, треугольники MPE и MNK подобны по трем углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $$MP/MN = ME/MK$$

Подставим известные значения: $$8/12 = 6/MK$$

$$MK = (6 \cdot 12) / 8 = 72 / 8 = 9$$

$$MK = 9$$

б) Найдем EN: $$EN = MN - ME = 12 - 6 = 6$$

Из подобия треугольников MPE и MNK следует пропорциональность сторон: $$ME/MN = PE/NK$$

$$6/12 = PE/NK$$

$$PE/NK = 1/2$$

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$S_{MPE} / S_{MNK} = (PE/NK)^2 = (1/2)^2 = 1/4$$

Ответ: a) 9; б) 1:2; в) 1:4