Дано: tgβ= -7/24 и 180° <β < 270°. Найдите: cosβ.

Т.к. \(180^\circ < \beta < 270^\circ\), то \(\beta\) находится в III четверти, где косинус отрицателен. Воспользуемся тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $$ \tan^2(\beta) + 1 = \frac{1}{\cos^2(\beta)} $$ Подставим значение \(\tan(\beta) = -\frac{7}{24}\): $$ \left(-\frac{7}{24}\right)^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2(\beta)} $$ $$ \frac{49}{576} + 1 = \frac{1}{\cos^2(\beta)} $$ $$ \frac{49 + 576}{576} = \frac{625}{576} = \frac{1}{\cos^2(\beta)} $$ Отсюда: $$ \cos^2(\beta) = \frac{576}{625} $$ $$\cos(\beta) = \pm \sqrt{\frac{576}{625}} = \pm \frac{24}{25} $$ Так как \(\beta\) находится в III четверти, где косинус отрицателен, выбираем отрицательное значение: $$ \cos(\beta) = -\frac{24}{25} = -0.96 $$ Ответ: $$ \cos(\beta) = -0.96 $$