3) Дано: UAB : UBC = 11:12 (рис. 8.178). Найти: ∠BCA, ∠BAC.

Давай решим эту задачу. Так как на рисунке 8.178 дан угол \(\angle AOC = 130^{\circ}\), то угол \(\angle ABC\) является вписанным углом, опирающимся на дугу AC. Следовательно, величина угла \(\angle ABC\) равна половине градусной меры дуги AC: $$\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot (360^{\circ} - \angle AOC) = \frac{1}{2} \cdot (360^{\circ} - 130^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 230^{\circ} = 115^{\circ}$$ Теперь, пусть \(\angle UAB = 11x\) и \(\angle UBC = 12x\). Тогда \(\angle ABC = \angle UAB + \angle UBC = 11x + 12x = 23x\). Мы знаем, что \(\angle ABC = 115^{\circ}\), значит: $$23x = 115^{\circ}$$ $$x = \frac{115^{\circ}}{23} = 5^{\circ}$$ Тогда \(\angle UAB = 11 \cdot 5^{\circ} = 55^{\circ}\) и \(\angle UBC = 12 \cdot 5^{\circ} = 60^{\circ}\). Угол \(\angle BCA\) равен углу \(\angle UAB\) как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (BA). Значит, \(\angle BCA = 55^{\circ}\). Угол \(\angle BAC\) равен углу \(\angle UBC\) как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (BC). Значит, \(\angle BAC = 60^{\circ}\). Ответ: \(\angle BCA = 55^{\circ}\), \(\angle BAC = 60^{\circ}\)