5) Окружность с центром О и радиусом 16 см описана около треугольника АВС так, что ∠OAB = 30°, ∠OCB = 45°. Найдите стороны АВ и ВС треугольника.

Рассмотрим треугольник OAB. Так как OA = OB (радиусы окружности), то треугольник OAB равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны: \(\angle OBA = \angle OAB = 30^{\circ}\).

Теперь найдем угол AOB:

$$\angle AOB = 180^{\circ} - \angle OAB - \angle OBA = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ}$$

Аналогично, рассмотрим треугольник OCB. Так как OC = OB (радиусы окружности), то треугольник OCB равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны: \(\angle OBC = \angle OCB = 45^{\circ}\).

Теперь найдем угол BOC:

$$\angle BOC = 180^{\circ} - \angle OCB - \angle OBC = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ}$$

Теперь можем найти стороны AB и BC по теореме синусов в треугольниках OAB и OCB соответственно.

В треугольнике OAB:

$$\frac{AB}{\sin{\angle AOB}} = \frac{OA}{\sin{\angle OBA}}$$ $$AB = \frac{OA \cdot \sin{\angle AOB}}{\sin{\angle OBA}} = \frac{16 \cdot \sin{120^{\circ}}}{\sin{30^{\circ}}} = \frac{16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 16 \sqrt{3}$$

В треугольнике OCB:

$$\frac{BC}{\sin{\angle BOC}} = \frac{OC}{\sin{\angle OBC}}$$ $$BC = \frac{OC \cdot \sin{\angle BOC}}{\sin{\angle OBC}} = \frac{16 \cdot \sin{90^{\circ}}}{\sin{45^{\circ}}} = \frac{16 \cdot 1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{32}{\sqrt{2}} = 16 \sqrt{2}$$

Ответ: AB = \(16 \sqrt{3}\) см, BC = \(16 \sqrt{2}\) см