Даны точки А (3; −2), В (1; −1) и С (-1; 1). Найдите: 1) координаты векторов ВА и ВС; 2) модули векторов ВА и ВС; 3) координаты вектора MP = 4BA – BC; 4) скалярное произведение векторов ВА И ВС; 5) косинус угла между векторами ВА и ВС.

Решение:

1) Найдем координаты векторов ВА и ВС:

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала.

$$\vec{BA} = (1-3; -1-(-2)) = (-2; 1)$$\

$$\vec{BC} = (-1-1; 1-(-1)) = (-2; 2)$$\

2) Найдем модули векторов ВА и ВС:

Модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

$$|\vec{BA}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$\

$$|\vec{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$\

3) Найдем координаты вектора MP = 4BA – BC:

Умножение вектора на число: умножаем каждую координату вектора на это число.

$$4\vec{BA} = (4 \cdot (-2); 4 \cdot 1) = (-8; 4)$$\

Вычитание векторов: вычитаем соответствующие координаты.

$$\vec{MP} = 4\vec{BA} - \vec{BC} = (-8 - (-2); 4 - 2) = (-6; 2)$$\

4) Найдем скалярное произведение векторов ВА и ВС:

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

$$(\vec{BA}, \vec{BC}) = (-2) \cdot (-2) + 1 \cdot 2 = 4 + 2 = 6$$\

5) Найдем косинус угла между векторами ВА и ВС:

Косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения векторов к произведению их модулей.

$$cos(\vec{BA}, \vec{BC}) = \frac{(\vec{BA}, \vec{BC})}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{6}{\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{6}{2\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$\

Ответ: 1) $$ \vec{BA} = (-2; 1)$$, $$\vec{BC} = (-2; 2)$$; 2) $$|\vec{BA}| = \sqrt{5}$$, $$|\vec{BC}| = 2\sqrt{2}$$; 3) $$\vec{MP} = (-6; 2)$$; 4) $$(\vec{BA}, \vec{BC}) = 6$$; 5) $$cos(\vec{BA}, \vec{BC}) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$