5. Найдите косинус угла между векторами Б = 6m -й и с = m +3ñ, с литий и т = = 1.

Пусть $$\vec{b} = 6\vec{m} - \vec{n}$$, $$\vec{c} = \vec{m} + 3\vec{n}$$. Найти косинус угла между векторами $$\vec{b}$$ и $$\vec{c}$$, если $$\vec{m} \perp \vec{n}$$ и $$|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$$.

Найдем скалярное произведение векторов $$\vec{b}$$ и $$\vec{c}$$:

$$(\vec{b}, \vec{c}) = (6\vec{m} - \vec{n}, \vec{m} + 3\vec{n}) = 6(\vec{m}, \vec{m}) + 18(\vec{m}, \vec{n}) - (\vec{n}, \vec{m}) - 3(\vec{n}, \vec{n}) = 6|\vec{m}|^2 + 17(\vec{m}, \vec{n}) - 3|\vec{n}|^2$$\

Так как $$\vec{m} \perp \vec{n}$$, то $$(\vec{m}, \vec{n}) = 0$$. Следовательно:

$$(\vec{b}, \vec{c}) = 6|\vec{m}|^2 - 3|\vec{n}|^2$$\

Так как $$|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$$, то $$(\vec{b}, \vec{c}) = 6 - 3 = 3$$\

Найдем модули векторов $$\vec{b}$$ и $$\vec{c}$$:

$$|\vec{b}|^2 = (6\vec{m} - \vec{n}, 6\vec{m} - \vec{n}) = 36|\vec{m}|^2 - 12(\vec{m}, \vec{n}) + |\vec{n}|^2 = 36 + 1 = 37$$\

$$|\vec{b}| = \sqrt{37}$$\

$$|\vec{c}|^2 = (\vec{m} + 3\vec{n}, \vec{m} + 3\vec{n}) = |\vec{m}|^2 + 6(\vec{m}, \vec{n}) + 9|\vec{n}|^2 = 1 + 9 = 10$$\

$$|\vec{c}| = \sqrt{10}$$\

Найдем косинус угла между векторами $$\vec{b}$$ и $$\vec{c}$$:

$$cos(\vec{b}, \vec{c}) = \frac{(\vec{b}, \vec{c})}{|\vec{b}| \cdot |\vec{c}|} = \frac{3}{\sqrt{37} \cdot \sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{370}} = \frac{3\sqrt{370}}{370}$$\

Ответ: $$\frac{3\sqrt{370}}{370}$$