1. Даны точки А (0;4;0), В (2;0;0), C (4;0;4), Д(2;4;4). Докажите, что АВСД - ромб.

Чтобы доказать, что ABCD - ромб, нужно показать, что все его стороны равны. Найдем длины сторон, используя координаты точек: $$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (0-4)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4 + 16 + 0} = \sqrt{20}$$ $$BC = \sqrt{(4-2)^2 + (0-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 + 0 + 16} = \sqrt{20}$$ $$CD = \sqrt{(2-4)^2 + (4-0)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 0} = \sqrt{20}$$ $$DA = \sqrt{(0-2)^2 + (4-4)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{4 + 0 + 16} = \sqrt{20}$$ Так как все стороны равны $$\sqrt{20}$$, то ABCD - ромб.