Даны точки A(0; 4), B(4; 2), C(2; −2), D(−2; 0). 1. а) Найдите координаты и длину вектора \(\vec a=\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AD}-\frac12\overrightarrow{CA}\). б) Разложите вектор \(\vec a\) по координатным векторам \(\vec i\) и \(\vec j\).

Найдём координаты нужных векторов:

\(\overrightarrow{AB}=(4-0;\,2-4)=(4;\,-2)\), \(\overrightarrow{AD}=(-2-0;\,0-4)=(-2;\,-4)\), \(\overrightarrow{CA}=(0-2;\,4-(-2))=(-2;\,6)\).

Подставим их в выражение:

\(\vec a=(4;\,-2)+3(-2;\,-4)-\frac12(-2;\,6)=(-1;\,-17)\).

Длина вектора:

\(|\vec a|=\sqrt{(-1)^2+(-17)^2}=\sqrt{290}\).

Разложение по координатным векторам: \(\vec a=-\vec i-17\vec j\).

Ответ: \(\vec a=(-1;\,-17)\), \(|\vec a|=\sqrt{290}\), \(\vec a=-\vec i-17\vec j\).