Даны точки A(0; 4), B(4; 2), C(2; −2), D(−2; 0). 4. Докажите, что ABCD — квадрат.

Найдём векторы сторон в порядке обхода вершин:

\(\overrightarrow{AB}=(4;-2)\), \(\overrightarrow{BC}=(-2;-4)\), \(\overrightarrow{CD}=(-4;2)\), \(\overrightarrow{DA}=(2;4)\).

Поскольку \(\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}\), противоположные стороны попарно параллельны, следовательно, ABCD — параллелограмм.

Длины соседних сторон равны: \(|AB|=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{20}\) и \(|BC|=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2}=\sqrt{20}\).

Их скалярное произведение равно нулю: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=4\cdot(-2)+(-2)\cdot(-4)=0\). Значит, соседние стороны перпендикулярны.

Параллелограмм с равными соседними сторонами и прямым углом является квадратом. Следовательно, ABCD — квадрат.