Даны точки A(3;2), B(3;3), C(5;-3) и D(-1;-5). 1. а) Найдите координаты и длину вектора a, если a = AB + ¼·BD − ½·CA. б) Разложите вектор a по координатным векторам i и j.

а) Найдём векторы по координатам точек:

\(\overrightarrow{AB}=(3-3;3-2)=(0;1)\), \(\overrightarrow{BD}=(-1-3;-5-3)=(-4;-8)\), \(\overrightarrow{CA}=(3-5;2-(-3))=(-2;5)\).

Подставим их в выражение:

\(\vec a=(0;1)+\frac14(-4;-8)-\frac12(-2;5)\)

\(=(0;1)+(-1;-2)+(1;-\frac52)=(0;-\frac72)\).

Длина вектора: \(|\vec a|=\sqrt{0^2+(-\frac72)^2}=\frac72\).

б) Разложение по координатным векторам:

\(\vec a=0\vec i-\frac72\vec j\).

Ответ: \(\vec a=(0;-\frac72)\), \(|\vec a|=\frac72\), \(\vec a=0\vec i-\frac72\vec j\).