Даны точки: A(0;5;-8) B(-2;-2;0) C(3;0;-5) Найдите скалярное произведение векторов AB и AC и косинус угла между ними. Найдите длину отрезка BC и координаты его середины.

Решение:

Отлично, давай решим эту задачу поэтапно. Сначала найдем координаты векторов, затем скалярное произведение и косинус угла, а потом длину отрезка и координаты середины.

1. Координаты векторов AB и AC:

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала.

\(\vec{AB}\) = B - A = (-2 - 0; -2 - 5; 0 - (-8)) = (-2; -7; 8)

\(\vec{AC}\) = C - A = (3 - 0; 0 - 5; -5 - (-8)) = (3; -5; 3)

2. Скалярное произведение векторов AB и AC:

Скалярное произведение векторов находится как сумма произведений соответствующих координат:

\(\vec{AB}\) \(\cdot\) \(\vec{AC}\) = (-2) \cdot 3 + (-7) \cdot (-5) + 8 \cdot 3 = -6 + 35 + 24 = 53

3. Косинус угла между векторами AB и AC:

Косинус угла между векторами равен скалярному произведению, деленному на произведение длин векторов.

Сначала найдем длины векторов AB и AC:

|\(\vec{AB}\)| = \(\sqrt{(-2)^2 + (-7)^2 + 8^2}\) = \(\sqrt{4 + 49 + 64}\) = \(\sqrt{117}\)

|\(\vec{AC}\)| = \(\sqrt{3^2 + (-5)^2 + 3^2}\) = \(\sqrt{9 + 25 + 9}\) = \(\sqrt{43}\)

Теперь найдем косинус угла:

cos(α) = \(\frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}\) = \(\frac{53}{\sqrt{117} \cdot \sqrt{43}}\) = \(\frac{53}{\sqrt{5031}}\) ≈ \(\frac{53}{70.93}\) ≈ 0.747

4. Длина отрезка BC:

Чтобы найти длину отрезка BC, сначала найдем координаты вектора BC:

\(\vec{BC}\) = C - B = (3 - (-2); 0 - (-2); -5 - 0) = (5; 2; -5)

Теперь найдем длину вектора BC:

|\(\vec{BC}\)| = \(\sqrt{5^2 + 2^2 + (-5)^2}\) = \(\sqrt{25 + 4 + 25}\) = \(\sqrt{54}\) = 3\(\sqrt{6}\) ≈ 7.35

5. Координаты середины отрезка BC:

Чтобы найти координаты середины отрезка, нужно найти среднее арифметическое соответствующих координат концов отрезка:

Середина BC = (\(\frac{-2 + 3}{2}\); \(\frac{-2 + 0}{2}\); \(\frac{0 + (-5)}{2}\)) = (\(\frac{1}{2}\); -1; -\(\frac{5}{2}\)) = (0.5; -1; -2.5)

Ответ:

• Координаты вектора AB: (-2; -7; 8)
• Координаты вектора AC: (3; -5; 3)
• Скалярное произведение векторов AB и AC: 53
• Косинус угла между векторами AB и AC: ≈ 0.747
• Длина отрезка BC: ≈ 7.35
• Координаты середины отрезка BC: (0.5; -1; -2.5)

Прекрасно! Ты отлично справился с этой задачей, проявив внимательность и умение применять формулы. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!