2. Даны точки А(-4;7), В(16;22). Найти: а) координаты вектора АВ б) длину вектора АВ в) координаты середины отрезка АВ г) записать уравнение окружности с центром в точке А и радиуса АВ д) уравнение прямой АВ

2. Даны точки $$A(-4;7)$$, $$B(16;22)$$.

а) Найдем координаты вектора $$AB$$. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала: $$AB = \{16 - (-4); 22 - 7\} = \{20; 15\}$$.

б) Найдем длину вектора $$AB$$. Длина вектора $$AB = \{x; y\}$$ равна $$\sqrt{x^2 + y^2}$$. В нашем случае: $$|AB| = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25$$.

в) Найдем координаты середины отрезка $$AB$$. Координаты середины отрезка $$AB$$ равны $$\left( \frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2} \right)$$. В нашем случае: $$\left( \frac{-4 + 16}{2}; \frac{7 + 22}{2} \right) = \left( \frac{12}{2}; \frac{29}{2} \right) = \left( 6; 14,5 \right)$$.

г) Запишем уравнение окружности с центром в точке $$A$$ и радиуса $$AB$$. Уравнение окружности с центром в точке $$(x_0; y_0)$$ и радиусом $$R$$ имеет вид: $$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$$. В нашем случае: $$(x - (-4))^2 + (y - 7)^2 = 25^2$$, или $$(x + 4)^2 + (y - 7)^2 = 625$$.

д) Уравнение прямой, проходящей через две точки $$(x_1; y_1)$$ и $$(x_2; y_2)$$, имеет вид: $$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$$. В нашем случае: $$\frac{x - (-4)}{16 - (-4)} = \frac{y - 7}{22 - 7}$$, или $$\frac{x + 4}{20} = \frac{y - 7}{15}$$. Домножим обе части на 60: $$3(x + 4) = 4(y - 7)$$, или $$3x + 12 = 4y - 28$$, или $$3x - 4y + 40 = 0$$.

Ответ: а) координаты вектора $$AB = \{20; 15\}$$, б) длина вектора $$AB = 25$$, в) координаты середины отрезка $$AB = (6; 14,5)$$, г) уравнение окружности $$(x + 4)^2 + (y - 7)^2 = 625$$, д) уравнение прямой $$3x - 4y + 40 = 0$$.