3. Докажите, что четырехугольник MNKP, заданный координатами своих вершин М(2; 2), N(5; 3), K(6; 6), Р(3; 5), является ромбом, и вычислите его площадь.

3. Дано: четырехугольник MNKP с вершинами M(2; 2), N(5; 3), K(6; 6), P(3; 5).

Доказать: MNKP - ромб, и вычислить его площадь.

Решение:

1. Найдем длины сторон четырехугольника.
2. Длина стороны MN: $$MN = \sqrt{(5-2)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$$.
3. Длина стороны NK: $$NK = \sqrt{(6-5)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$$.
4. Длина стороны KP: $$KP = \sqrt{(3-6)^2 + (5-6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$$.
5. Длина стороны PM: $$PM = \sqrt{(2-3)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$$.

Все стороны четырехугольника равны, следовательно, это ромб.

1. Найдем длины диагоналей ромба.
2. Длина диагонали MK: $$MK = \sqrt{(6-2)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$.
3. Длина диагонали NP: $$NP = \sqrt{(3-5)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: $$S = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot NP = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8$$.

Ответ: MNKP - ромб, его площадь равна 8.