Даны точки М (-2; -4), Р (4; 4), K (-1; 3). Найдите: 1) координаты векторов МК и РМ; 2) модули векторов МК и РМ; 3) координаты вектора EF = 2MK - 3PM; 4) скалярное произведение векторов МК и РМ; 5) косинус угла между векторами МК и РМ.

1) Координаты векторов МК и РМ:

Найдем координаты вектора МК: $$МК = (-1-(-2); 3-(-4)) = (1; 7)$$.

Найдем координаты вектора РМ: $$РМ = (-2-4; -4-4) = (-6; -8)$$.

2) Модули векторов МК и РМ:

Найдем модуль вектора МК: $$|МК| = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1+49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$.

Найдем модуль вектора РМ: $$|РМ| = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$$.

3) Координаты вектора EF = 2MK - 3PM:

$$2МК = 2(1; 7) = (2; 14)$$.

$$3РМ = 3(-6; -8) = (-18; -24)$$.

$$EF = 2MK - 3PM = (2-(-18); 14-(-24)) = (20; 38)$$.

4) Скалярное произведение векторов МК и РМ:

$$МК \cdot РМ = 1 \cdot (-6) + 7 \cdot (-8) = -6 - 56 = -62$$.

5) Косинус угла между векторами МК и РМ:

$$cos(\alpha) = \frac{МК \cdot РМ}{|МК| \cdot |РМ|} = \frac{-62}{5\sqrt{2} \cdot 10} = \frac{-62}{50\sqrt{2}} = \frac{-31}{25\sqrt{2}} = -\frac{31\sqrt{2}}{50}$$.

Ответ: 1) МК (1; 7), РМ (-6; -8); 2) |МК| = $$5\sqrt{2}$$, |РМ| = 10; 3) EF (20; 38); 4) -62; 5) $$\frac{-31\sqrt{2}}{50}$$