Найдите косинус угла между векторами а = 3k - р и b = k-3р, если k⊥р, |k|=|р|= 1.

Найдём скалярное произведение векторов a и b: $$a \cdot b = (3k - p)(k - 3p) = 3k^2 - 9(k \cdot p) - (k \cdot p) + 3p^2 = 3k^2 - 10(k \cdot p) + 3p^2$$.

Т.к. k и p перпендикулярны, то $$k \cdot p = 0$$.

Т.к. $$|k| = |p| = 1$$, то $$k^2 = p^2 = 1$$.

$$a \cdot b = 3 \cdot 1 - 10 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 3 + 3 = 6$$.

$$|a| = \sqrt{(3k - p)^2} = \sqrt{9k^2 - 6(k \cdot p) + p^2} = \sqrt{9 \cdot 1 - 6 \cdot 0 + 1} = \sqrt{10}$$.

$$|b| = \sqrt{(k - 3p)^2} = \sqrt{k^2 - 6(k \cdot p) + 9p^2} = \sqrt{1 - 6 \cdot 0 + 9 \cdot 1} = \sqrt{10}$$.

$$cos \alpha = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|} = \frac{6}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$.

Ответ: $$\frac{3}{5}$$