1. Даны точки М (-2;-4), Р (4; 4), K (-1; 3). Найдите: 1) координаты векторов МК и РМ; 2) модули векторов МК и РМ; 3) координаты вектора EF = 2MK-3PM; 4) скалярное произведение векторов МК и РМ; 5) косинус угла между векторами МК и РМ.

Даны точки M(-2; -4), P(4; 4), K(-1; 3).

1) Координаты векторов MK и PM:

MK = (-1 - (-2); 3 - (-4)) = (1; 7)

PM = (-2 - 4; -4 - 4) = (-6; -8)

2) Модули векторов MK и PM:

$$|MK| = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

$$|PM| = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

3) Координаты вектора EF = 2MK - 3PM:

EF = 2 * (1; 7) - 3 * (-6; -8) = (2; 14) - (-18; -24) = (2 + 18; 14 + 24) = (20; 38)

4) Скалярное произведение векторов MK и PM:

MK · PM = (1 * (-6)) + (7 * (-8)) = -6 - 56 = -62

5) Косинус угла между векторами MK и PM:

$$cos(α) = \frac{MK \cdot PM}{|MK| \cdot |PM|} = \frac{-62}{5\sqrt{2} \cdot 10} = \frac{-62}{50\sqrt{2}} = \frac{-31}{25\sqrt{2}} = \frac{-31\sqrt{2}}{50}$$

Ответ: 1) МK(1; 7) и РМ(-6; -8); 2) |MK| = $$5\sqrt{2}$$, |PM| = 10; 3) EF(20; 38); 4) -62; 5) $$\frac{-31\sqrt{2}}{50}$$