226. Даны треугольник ABC и точки M и N такие, что середина отрезка BM совпадает с серединой стороны AC, а середина отрезка CN — с серединой стороны AB. Докажите, что точки M, N и A лежат на одной прямой.

Решение: Пусть O - середина AC, и пусть P - середина AB. Тогда O также является серединой BM, а P - серединой CN. Таким образом, AO = OC и BO = OM, а также AP = PB и CP = PN. Рассмотрим векторы. Пусть \(\vec{A}\), \(\vec{B}\), \(\vec{C}\), \(\vec{M}\) и \(\vec{N}\) обозначают векторы положения точек A, B, C, M и N соответственно. Тогда, так как O - середина AC, имеем \(\vec{O} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}\). Так как O - середина BM, имеем \(\vec{O} = \frac{\vec{B} + \vec{M}}{2}\). Следовательно, \(\frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{B} + \vec{M}}{2}\), откуда \(\vec{M} = \vec{A} + \vec{C} - \vec{B}\). Аналогично, так как P - середина AB, имеем \(\vec{P} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}\). Так как P - середина CN, имеем \(\vec{P} = \frac{\vec{C} + \vec{N}}{2}\). Следовательно, \(\frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} = \frac{\vec{C} + \vec{N}}{2}\), откуда \(\vec{N} = \vec{A} + \vec{B} - \vec{C}\). Рассмотрим вектор \(\vec{AM} = \vec{M} - \vec{A} = (\vec{A} + \vec{C} - \vec{B}) - \vec{A} = \vec{C} - \vec{B}\). Рассмотрим вектор \(\vec{AN} = \vec{N} - \vec{A} = (\vec{A} + \vec{B} - \vec{C}) - \vec{A} = \vec{B} - \vec{C}\). Тогда \(\vec{AM} + \vec{AN} = (\vec{C} - \vec{B}) + (\vec{B} - \vec{C}) = \vec{0}\), что не означает коллинеарность. Но \(\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = (\vec{A} + \vec{B} - \vec{C}) - (\vec{A} + \vec{C} - \vec{B}) = 2(\vec{B} - \vec{C}) = -2 \vec{AM}\). Это означает, что векторы \(\vec{MN}\) и \(\vec{AM}\) коллинеарны, а значит, точки A, M и N лежат на одной прямой. Ответ: Точки M, N и A лежат на одной прямой.