Даны векторы \(\vec{a} = (-1; 1; 1)\), \(\vec{b} = (0; 2; -2)\), \(\vec{c} = (-3; 2; 0)\) и \(\vec{d} = (-2; 1; -2)\). Найдите координаты векторов: а) \(3\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c}\); б) \(-\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{d}\); в) \(0,1\vec{a} + 3\vec{b} + 0,7\vec{c} - 5\vec{d}\); г) \((2\vec{a} + 3\vec{b}) - (\vec{a} - 2\vec{b}) + 2(\vec{a} - \vec{b})\).

Решение:

Для решения будем использовать операции сложения, вычитания и умножения вектора на число.

а) \(3\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c}\)

\(3\vec{a} = 3 \cdot (-1; 1; 1) = (-3; 3; 3)\)

\(2\vec{b} = 2 \cdot (0; 2; -2) = (0; 4; -4)\)

\(3\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c} = (-3 + 0 - (-3); 3 + 4 - 2; 3 + (-4) - 0) = (-3 + 3; 5; -1) = (0; 5; -1)\)

б) \(-\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{d}\)

\(-\vec{a} = -(-1; 1; 1) = (1; -1; -1)\)

\(2\vec{c} = 2 \cdot (-3; 2; 0) = (-6; 4; 0)\)

\(-\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{d} = (1 + (-6) - (-2); -1 + 4 - 1; -1 + 0 - (-2)) = (1 - 6 + 2; 2; -1 + 2) = (-3; 2; 1)\)

в) \(0,1\vec{a} + 3\vec{b} + 0,7\vec{c} - 5\vec{d}\)

\(0,1\vec{a} = 0,1 \cdot (-1; 1; 1) = (-0,1; 0,1; 0,1)\)

\(3\vec{b} = 3 \cdot (0; 2; -2) = (0; 6; -6)\)

\(0,7\vec{c} = 0,7 \cdot (-3; 2; 0) = (-2,1; 1,4; 0)\)

\(5\vec{d} = 5 \cdot (-2; 1; -2) = (-10; 5; -10)\)

\(0,1\vec{a} + 3\vec{b} + 0,7\vec{c} - 5\vec{d} = (-0,1 + 0 + (-2,1) - (-10); 0,1 + 6 + 1,4 - 5; 0,1 + (-6) + 0 - (-10)) = (-0,1 - 2,1 + 10; 7,5 - 5; 0,1 - 6 + 10) = (7,8; 2,5; 4,1)\)

г) \((2\vec{a} + 3\vec{b}) - (\vec{a} - 2\vec{b}) + 2(\vec{a} - \vec{b})\)

Сначала раскроем скобки и упростим выражение:

\(2\vec{a} + 3\vec{b} - \vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{a} - 2\vec{b}\)

Сгруппируем векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):

\((2\vec{a} - \vec{a} + 2\vec{a}) + (3\vec{b} + 2\vec{b} - 2\vec{b})\)

\(3\vec{a} + 3\vec{b}\)

Теперь подставим координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):

\(3\vec{a} = 3 \cdot (-1; 1; 1) = (-3; 3; 3)\)

\(3\vec{b} = 3 \cdot (0; 2; -2) = (0; 6; -6)\)

\(3\vec{a} + 3\vec{b} = (-3 + 0; 3 + 6; 3 + (-6)) = (-3; 9; -3)\)

Ответ: а) (0; 5; -1); б) (-3; 2; 1); в) (7,8; 2,5; 4,1); г) (-3; 9; -3).