449 Даны векторы \(\vec{a} = m\vec{i} + 3\vec{j} + 4\vec{k}\) и \(\vec{b} = 4\vec{i} + m\vec{j} - 7\vec{k}\). При каком значении m векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) перпендикулярны?

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов \(\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)\) и \(\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)\) вычисляется как \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\). В нашем случае, векторы \(\vec{a} = (m, 3, 4)\) и \(\vec{b} = (4, m, -7)\). Следовательно, их скалярное произведение равно: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = m \cdot 4 + 3 \cdot m + 4 \cdot (-7) = 4m + 3m - 28 = 7m - 28\) Чтобы векторы были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно 0: \(7m - 28 = 0\) Решаем уравнение относительно m: \(7m = 28\) \(m = \frac{28}{7}\) \(m = 4\) Таким образом, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) перпендикулярны при \(m = 4\). Ответ: m = 4