451 Вычислите угол между векторами: б) \(\vec{a} \{\sqrt{2}; \sqrt{2}; 2\}\) и \(\vec{b} \{-3; -3; 0\}\)

Чтобы вычислить угол между двумя векторами, можно воспользоваться формулой: \(\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\) где \(\theta\) - угол между векторами, \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) - скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), а \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) - их длины. В нашем случае, \(\vec{a} = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 2)\) и \(\vec{b} = (-3, -3, 0)\). 1. Вычислим скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\): \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (\sqrt{2})(-3) + (\sqrt{2})(-3) + (2)(0) = -3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 0 = -6\sqrt{2}\) 2. Вычислим длины векторов \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\): \(|\vec{a}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + (2)^2} = \sqrt{2 + 2 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) \(|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + (0)^2} = \sqrt{9 + 9 + 0} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) 3. Подставим значения в формулу для \(\cos \theta\): \(\cos \theta = \frac{-6\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})(3\sqrt{2})} = \frac{-6\sqrt{2}}{6 \cdot 2} = \frac{-6\sqrt{2}}{12} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) 4. Найдем угол \(\theta\), косинус которого равен \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\): \(\theta = \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}\) В градусах это \(\theta = 135^\circ\). Ответ: Угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен 135 градусов.