Дата ВАРИАНТ 2 РАБОТА 1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, ВK=4, DK=12, BC=21. Найдите AD. Ответ:

Смотри, как это работает:

По свойству секущихся хорд окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. В данном случае, имеем две секущиеся хорды: AKB и CKD.

Пусть AK = x, тогда KB = 4. Пусть DK = 12, тогда KC = BC + BK = 21 + 4 = 25.

Тогда:

• AK * KB = DK * KC
• x * 4 = 12 * 25
• 4x = 300
• x = 300 / 4
• x = 75

Следовательно, AK = 75.

Теперь найдем AB и CD:

• AB = AK + KB = 75 + 4 = 79
• CD = DK + KC = 12 + 25 = 37

По теореме о секущихся хордах:

• BK * AK = DK * CK
• 4 * AK = 12 * (21 + BK)

Так как ABCD вписан в окружность, то BK * AK = DK * CK, и AK = AB - BK. Подставляем известные значения:

• 4 * (AB - 4) = 12 * (21 + 4)
• 4AB - 16 = 12 * 25
• 4AB - 16 = 300
• 4AB = 316
• AB = 79

Рассмотрим треугольники BCK и DAK:

• ∠BKC = ∠DKA (вертикальные углы)
• ∠KBC = ∠KDA (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AC)

Следовательно, треугольники BCK и DAK подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует:

• BC / AD = BK / DK
• 21 / AD = 4 / 12
• 21 / AD = 1 / 3
• AD = 21 * 3
• AD = 63

Ответ: 63