День 20. Суббота. Дата Тема "Комбинаторные задачи" Задача 20-1. Сколько существует различных семизначных телефонных номеров, о которых известно, что: 1) первая цифра номера - 1, 2 или 3; 2) последняя цифра номера – 5 или 6; 3) все остальные цифры - семерки? Задача 20-2. Костя собирается в туристическую поездку и укладывает вещи в чемодан. Он собирается взять с собой, помимо прочих вещей, футболку, куртку, кроссовки, книгу и планшет. Сколько вариантов положить перечисленные вещи в чемодан?

Решение задачи 20-1:

Телефонный номер состоит из 7 цифр. Распишем количество вариантов для каждой позиции:

• Первая цифра: может быть 1, 2 или 3. Всего 3 варианта.
• Вторая цифра: должна быть 7. Всего 1 вариант.
• Третья цифра: должна быть 7. Всего 1 вариант.
• Четвертая цифра: должна быть 7. Всего 1 вариант.
• Пятая цифра: должна быть 7. Всего 1 вариант.
• Шестая цифра: должна быть 7. Всего 1 вариант.
• Седьмая (последняя) цифра: может быть 5 или 6. Всего 2 варианта.

Чтобы найти общее количество различных телефонных номеров, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:

\( 3 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 2 = 6 \).

Ответ: Существует 6 различных семизначных телефонных номеров.

Решение задачи 20-2:

Костя собирается взять с собой 5 вещей: футболку, куртку, кроссовки, книгу и планшет.

Вопрос «Сколько вариантов положить перечисленные вещи в чемодан?» можно интерпретировать по-разному. Если имеется в виду порядок укладки вещей, то это задача на перестановки. Если же порядок не важен, а важно только то, какие вещи будут взяты (что подразумевается, так как все перечисленные вещи берутся), то количество вариантов будет зависеть от того, как именно он будет их укладывать (например, последовательность, но это не является комбинаторной задачей в чистом виде).

Однако, в контексте комбинаторики, если вопрос звучит как «сколько вариантов положить», и подразумевается последовательность, то это задача на число перестановок из 5 элементов.

Число перестановок из \( n \) элементов равно \( n! \) (n факториал).

В данном случае \( n = 5 \) (количество вещей).

\( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \).

\( 5! = 20 \times 3 \times 2 \times 1 \)

\( 5! = 60 \times 2 \times 1 \)

\( 5! = 120 \).

Ответ: Существует 120 вариантов укладки перечисленных вещей в чемодан, если учитывать порядок их укладки.