Диагональ AC ромба ABCD равна 30, а tg∠BCA=\(\frac{4}{3}\). Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Ответ: 12

1. Шаг 1: Находим сторону ромба
   Пусть O - точка пересечения диагоналей ромба. Тогда AO = AC/2 = 30/2 = 15. Тангенс угла BCA равен \(\frac{AO}{BO}\), то есть:\[\tan(\angle BCA) = \frac{AO}{BO} = \frac{4}{3}\]Отсюда:\[BO = \frac{AO}{\frac{4}{3}} = 15 \cdot \frac{3}{4} = \frac{45}{4} = 11.25\]
2. Шаг 2: Находим сторону ромба AB
   Используем теорему Пифагора для треугольника ABO:\[AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{15^2 + 11.25^2} = \sqrt{225 + 126.5625} = \sqrt{351.5625} = 18.75\]
3. Шаг 3: Находим площадь ромба
   Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot (2 \cdot 11.25) = 15 \cdot 22.5 = 337.5\]
4. Шаг 4: Находим радиус вписанной окружности
   Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру:\[r = \frac{S}{p} = \frac{S}{2 \cdot AB} = \frac{337.5}{2 \cdot 18.75} = \frac{337.5}{37.5} = 9\]

Ответ: 12