Диагональ AC ромба ABCD равна 12, а tg ∠BCA = 0,25. Найдите площадь ромба.

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей — O.

В треугольнике BOC:

• \( \angle BOC = 90^\circ \)
• \( AC = 12 \), значит, \( OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} × 12 = 6 \)
• \( \text{tg} ∠ BCA = 0.25 = \frac{1}{4} \)

Тангенс угла BCA в прямоугольном треугольнике BOC равен отношению противолежащего катета (BO) к прилежащему катету (OC):

\[ \text{tg} ∠ BCA = \frac{BO}{OC} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{1}{4} = \frac{BO}{6} \]

Выразим BO:

\[ BO = \frac{1}{4} × 6 = \frac{6}{4} = 1.5 \]

Вторая диагональ BD равна:

\[ BD = 2 × BO = 2 × 1.5 = 3 \]

Площадь ромба вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \]

где \( d_1 \) и \( d_2 \) — длины диагоналей.

\[ S = \frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2} × 12 × 3 = 6 × 3 = 18 \]

Ответ: 18.