Диагональ АС ромба ABCD равна 28, a tg BCA = 24 7. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

• Дано: Диагональ AC = 28, tg ∠BCA = 24/7
• Обозначим точку пересечения диагоналей ромба за O. Тогда AO = AC/2 = 14
• Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. Тангенс угла BCA (или ∠BCO) равен отношению противолежащего катета BO к прилежащему катету AO. \[tg ∠BCA = \frac{BO}{AO}\]
• Выразим BO: \[BO = AO ⋅ tg ∠BCA = 14 ⋅ \frac{7}{24} = \frac{49}{12}\]
• Диагональ BD равна 2⋅BO: \[BD = 2 ⋅ BO = 2 ⋅ \frac{49}{12} = \frac{49}{6}\]
• Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \[S = \frac{1}{2} ⋅ AC ⋅ BD = \frac{1}{2} ⋅ 28 ⋅ \frac{49}{6} = \frac{343}{3}\]
• С другой стороны, площадь ромба равна произведению стороны на высоту, а высота равна двум радиусам вписанной окружности: S = a ⋅ 2r. Выразим радиус: \[r = \frac{S}{2a}\] Чтобы найти сторону a, воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника AOB: \[a = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{14^2 + (\frac{49}{12})^2} = \sqrt{196 + \frac{2401}{144}} = \sqrt{\frac{28224 + 2401}{144}} = \sqrt{\frac{30625}{144}} = \frac{175}{12}\]
• Подставим найденные значения в формулу для радиуса: \[r = \frac{S}{2a} = \frac{\frac{343}{3}}{2 ⋅ \frac{175}{12}} = \frac{343}{3} ⋅ \frac{12}{350} = \frac{343 ⋅ 4}{350} = \frac{49 ⋅ 4}{50} = \frac{196}{50} = \frac{98}{25} = 3.92\]

Ответ: 3.92