13. Диагональ АС ромба АВСD равна 30, a tg BCA =. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб. B A C D

Ответ: 9

Пусть дан ромб ABCD, диагональ AC = 30, tg∠BCA = 4/3. Нужно найти радиус вписанной окружности.

Пусть O - точка пересечения диагоналей, тогда AO = AC/2 = 30/2 = 15.

В прямоугольном треугольнике BOC, tg∠BCA = BO/OC. Тогда BO = OC * tg∠BCA = 15 * (4/3) = 20.

Сторона ромба BC = √(BO² + OC²) = √(20² + 15²) = √(400 + 225) = √625 = 25.

Площадь ромба равна S = (1/2) * AC * BD = (1/2) * 30 * 40 = 600. Также площадь ромба равна S = BC * h, где h - высота ромба.

Тогда h = S / BC = 600 / 25 = 24.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба, то есть r = h/2 = 24/2 = 12.

r = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12

Ответ: 12